÷ƒ’À;è TeX output 1997.02.20:0055‹ÿÿÿÿ y ı£ ? ıä’šüeóKñ`y cmr10²18.01–UUSolutions,“additional“problemsŸ“ğ‘Mó !",š cmsy10¸‘Wx‘[q˲2.5‘UU#22Ÿğ‘WConsider–UUthe“limitŸµ£’Ú&limŸ‡’Øö'ó 0e—rcmmi7´7ó O!â…cmsy7·!óÙ“ Rcmr7±0Ÿù<$’ëÏ‘²1–8ณ²cos‘Gó  b> cmmi10µ’ëÏ‘Ÿw‰fe%?úŸ (Ö‘ åRGŸır±2’B¾µ:Ÿè;‘_r²a)‘mUse–bÿa“calculator“to“construct“a“table“of“v‘ÿqÇalues“of“the“function“for“small¤ ‘mµšG²'s,–UUand“thereb¸ãy“form“a“conjecture“ab˜out“the“v‘ÿqÇalue“of“this“limit.©á ‘móò"V cmbx10¹Solution:’¢*óı': cmti10ºA–“çtable“of“appr‘ÿ}'oximate“values“is:Ÿ)†Ÿç³1’Õ™µ‘fŸ™œ„ ff’ótù²(1–8ณ²cos‘Gµ•G²)µ=“Ÿü^ÿ±2’Ï™Ÿ‰ffeâĞŸfd‘º0.3‘ é=Ÿ™œ„ ff‘$f`0.4963¡‘0.2‘ é=Ÿ™œ„ ff‘$f`0.4983¡‘0.1‘ é=Ÿ™œ„ ff‘$f`0.4996¡‘0.01‘ÌÍŸ™œ„ ff‘$f`0.499996.Ÿ*S‘mSo–“çwe“c–ÿ}'onje“ctur“e–“çthe“limit“is“1/2.¦‘^9²b)‘mPro•¸ãv“e›UUy“our˜conjecture.¦‘m¹Solution:ŸHDŸĞXh’›)²limŸ‡’š´7·!±0Ÿù<$’¬ö†²1–8ณ²cos‘Gµ’¬ö†Ÿw‰fe%?úŸ (Ö‘ åRGŸır±2’İi³²=’ğ<ĞlimŸ‡’ï0Ñ´7·!±0Ÿù<$’ ;²(1–8à+“cos›GµG²)(1“¸“²cos˜µG²)’ ;Ÿw‰feZ0Ÿ 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úŸ;µxy‘İ ²+‘8à4–Ç=“µy[Ù².ŸŒ‹* y ı£ ? ıä‘W¹Solution:Ÿ@ì.Ÿ×ÉuŸù<$’£ó¶µdy’£¹¤Ÿw‰fe ëŸ (Ödx’¹Øe²=Ÿù<$’Ï®Dµd’ÌÒ¶Ÿw‰fe ëŸ (Ödx’ÚœŸôæ`«’à•²(µxy[Ù²)ŸûŞÿ±1´=±2‘ʪ²+‘8à4Ÿôæ`«¤‘¬’¹Øe²=Ÿù<$’ÌÒ¶1’ÌÒ¶Ÿw‰feŸ (Ö2’Óê(µxy•[Ù²)ŸûŞÿ·±1´=±2‘ «¸Ÿù<$‘G¡µd‘lŸw‰fe ëŸ (Ödx‘ŠÔ²(µxy“²)¡’¹Øe=Ÿù<$’ÌÒ¶1’ÌÒ¶Ÿw‰feŸ (Ö2’Óê(µxy[Ù²)ŸûŞÿ·±1´=±2‘Ñ˲(µy‘”¹²+‘8àµxŸù<$‘mEdy‘33Ÿw‰fe ëŸ (Ödx‘ Qô²)¡’¹Øe=Ÿù<$’ÌÒ¶1’ÌÒ¶Ÿw‰feŸ (Ö2’Óê(µxy•[Ù²)ŸûŞÿ·±1´=±2›Ñ˵y‘”¹²+Ÿù<$‘l1‘lŸw‰feŸ (Ö2‘ ŸG(µxy“²)ŸûŞÿ·±1´=±2˜µxŸù<$‘mEdy‘33Ÿw‰fe ëŸ (Ödx¡’¹Øe²=Ÿù<$’ÌÒ¶1’ÌÒ¶Ÿw‰feŸ (Ö2’ÓêµxŸûŞÿ·±1´=±2‘Ñ˵y[ÙŸûŞÿ±1´=±2‘&ƒ²+Ÿù<$‘l1‘lŸw‰feŸ (Ö2‘ ŸGµxŸûŞÿ±1´=±2‘ ‘ʵy[ÙŸûŞÿ·±1´=±2Ÿù<$‘šéµdy‘`ןw‰fe ëŸ (Ödx‘ ˜:ŸCl.‘WºSolving–“çfor“µdy[Ù=dxº,“we“getŸ5£’ªò(1‘8ฟù<$‘l²1‘lŸw‰feŸ (Ö2‘ ŸGµxŸûŞÿ±1´=±2‘ ‘ʵy[ÙŸûŞÿ·±1´=±2‘-¤²)Ÿù<$‘mEµdy‘33Ÿw‰fe ëŸ (Ödx‘ ²=Ÿù<$‘úK1‘úKŸw‰feŸ (Ö2‘ -µxŸûŞÿ·±1´=±2‘Ñ˵y[ÙŸûŞÿ±1´=±2‘ í£²;Ÿ@ʺŸé ]Ÿù<$’Á/µdy’ÀõŸw‰fe ëŸ (Ödx’ײ=Ÿõ=•Ÿù<$’óݶ1’óݶŸw‰feŸ (Ö2’úêµxŸûŞÿ·±1´=±2‘Ñ˵y[ÙŸûŞÿ±1´=±2’êŸu‰feBüïŸhÒ²1‘8ฟù<$‘l²1‘lŸw‰feŸ (Ö2‘ ŸGµxŸûŞÿ±1´=±2‘ ‘ʵy[ÙŸûŞÿ·±1´=±2Ÿ"œë’ײ=Ÿù<$’òªƒµxŸü^ÿ·±1´=±2‘Ñ˵y[ÙŸü^ÿ±1´=±2’êŸw‰fe;–ˆŸ V½²2–8ณµxŸır±1´=±2‘ ‘ʵy[ÙŸır·±1´=±2Ÿ ˒ײ=Ÿù<$’üŒJµy’êŸw‰fe*?fŸ (Ö²2ŸùÄû¸p‘UWŸùÄû‰fe úŸ;µxy‘ˆK¸‘8àµxŸ8n±‘Wº(multiplying–“çthe“numer‘ÿ}'ator“and“denominator“by“ŸùÄû¸p‘ é>ŸùÄû‰fe úŸ;µxy‘ãRº).Ÿ‘M¸‘Wx‘[q˲3.5‘UU#28¤‘WFind–UUthe“deriv‘ÿqÇativ¸ãe“ofŸñƒ᳟ìÛ«s’ë³ ŸìÛ‰feÒÔŸ$üŸù<$‘33µxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3‘33Ÿw‰felnŸ (ÖµxŸır±2‘µS¸‘8à²3’ …ݵ:Ÿfy‘W¹Solution:ŸBݯŸÙÑ$Ÿù<$‘jšÅµd‘g¿7Ÿw‰fe ëŸ (Ödx‘uˆ Ÿñæ^«Ÿù<$‘~GµxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3‘~GŸw‰felnŸ (ÖµxŸır±2‘µS¸‘8à²3’š·èŸñæ^«’¢\Ÿó‘-±1´=±2’¸¦&²=Ÿù<$’Ë w1’Ë wŸw‰feŸ (Ö2’Ó~SŸñæ^«Ÿù<$’Ü úµxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3’Ü úŸw‰felnŸ (ÖµxŸır±2‘µS¸‘8à²3’ø­›Ÿñæ^«’ Ÿó‘-±1´=±2Ÿù<$’UBµd’y´Ÿw‰fe ëŸ (Ödx’CŸñæ^«Ÿù<$’%ÒĵxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3’%ÒÄŸw‰felnŸ (ÖµxŸır±2‘µS¸‘8à²3’BreŸñæ^«¤.Û’¸¦&²=Ÿù<$’Ë w1’Ë wŸw‰feŸ (Ö2’Ó~SŸñæ^«Ÿù<$’Ü úµxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3’Ü úŸw‰felnŸ (ÖµxŸır±2‘µS¸‘8à²3’ø­›Ÿñæ^«’ Ÿó‘-±1´=±2’FŸñæ^«Ÿù<$’Ö(²2µx²(µxŸü^ÿ±2›µS¸–8à²3)“¸“²2µx²(µxŸü^ÿ±2˜²+“3)’Ö(Ÿw‰feh0Ÿ (Ö‘ /(µxŸır±2‘µS¸‘8à²3)Ÿır±2’€‹Ÿñæ^«¡’¸¦&²=Ÿù<$’Ë w1’Ë wŸw‰feŸ (Ö2’Ó~SŸñæ^«Ÿù<$’Ü úµxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3’Ü úŸw‰felnŸ (ÖµxŸır±2‘µS¸‘8à²3’ø­›Ÿñæ^«’ Ÿó‘-±1´=±2’FŸñæ^«Ÿù<$’ï ¸²12µx’Ö(Ÿw‰fe'¯ÿŸ (Ö²(µxŸır±2‘µS¸‘8à²3)Ÿır±2’?¹ZŸñæ^«Ÿ$å’¸¦&²=Ÿù<$’Ë w¸²6µx²(µxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8à3)Ÿü^ÿ±1´=±2’Ë wŸw‰feBC‘Ÿ V½‘ ?²(µxŸır±2‘µS¸‘8à²3)Ÿır±5´=±2’;µ:ŸHÏv‘M¸‘Wx‘[q˲3.5‘UU#29b¡‘WFind–UUthe“equation“of“the“tangen¸ãt“to“µxŸü^ÿ±4‘µS²+‘8à16µy[ÙŸü^ÿ±4‘Ÿd²=‘Ç32“at“(2µ;‘ª¨²1).ŸŒ‹ € y ı£ ? ıä‘W¹Solution:’Œ*ºImplicit–“çdi er‘ÿ}'entiation“gives¤ ’ÃÆÒ²4µxŸûŞÿ±3‘µS²+‘8à64µy[ÙŸûŞÿ±3‘ØL²(µdy[Ù=dx²)–Ç=“0µ;¡‘Wºso‘µÅµdyš[Ù=dx–s²=“¸µxŸü^ÿ±3‘|sµ=²16µy˜Ÿü^ÿ±3‘ØLº.‘ÿ1The–µÅslop›ÿ}'e“of“the“tangent“line“at“²(2µ;‘ª¨²1)“ºis“ther˜efor˜eŸ ‘W¸²2Ÿü^ÿ±3‘|sµ=²16–ş¸“²1Ÿü^ÿ±3‘C‹²=‘Ǹ²1µ=²2º.‘’The–xÜe›ÿ}'quation“of“the“tangent“line“is“ther˜efor˜e“µy‘Y︑ş²1‘Ç=Ÿµ£‘W¸Ÿù<$‘33²1‘33Ÿw‰feŸ (Ö2‘fg(µx–8ณ²2)º,‘“çorŸî’ÛÁµy‘"ñ²=‘ǸŸù<$‘33µx‘33Ÿw‰fe·Ÿ (Ö[²2‘ Vb+‘8à2µ:©ãÙ‘M¸‘Wx‘[q˲3.5‘UU#39ŸÑ5‘WFind–UUµdy[Ù=dx“²bš¸ãy“implicit“di eren˜tiation“if“sin‘Gµy‘"ñ²=‘ǵxy[Ù².¤ ‘W¹Solution:Ÿ#SfŸëb=’Ïo²cos’Ş}NµyŸù<$‘Édy‘ Ÿw‰fe ëŸ (Ödx’û:²=’ ÙXµy‘”¹²+‘8àµxŸù<$‘mEdy‘33Ÿw‰fe ëŸ (Ödx‘ Qô²;¤‘¬’µ·ÿ(cos‘7µy‘”¹¸‘8àµx²)Ÿù<$‘mEµdy‘33Ÿw‰fe ëŸ (Ödx’û:²=’ ÙXµy[Ù²;¡Ÿù<$’å-‹µdy’äóyŸw‰fe ëŸ (Ödx’û:²=Ÿù<$’‹¤µy’ ‹Ÿw‰fe&A)Ÿ (Ö²cos‘7µy‘”¹¸‘8àµx’5€ç:Ÿ0[5‘M¸‘Wx‘[q˲3.6‘UU#2aŸÕ‘WCalculate–UUµy[ÙŸü^ÿ·00‘Í ²if“µy‘"ñ²=Ÿù<$‘ –»µx‘úKŸw‰feïûŸ (Ö²1–8ณµx‘y².Ÿ¹.‘W¹Solution:ŸCÜ’«¶ëµy[ÙŸûŞÿ·0‘ñ*²=Ÿù<$‘úK(1–8ณµx²)“¸“µx²(¸²1)‘úKŸw‰feE5PŸ (Ö‘â(1–8ณµx²)Ÿır±2‘M)æ²=‘Ç(1–8ณµx²)ŸûŞÿ·±2‘ ¼t²;Ÿs’ÒˆPµy[ÙŸûŞÿ·00‘?c²=‘Ç2(1–8ณµx²)ŸûŞÿ·±3‘ ¼tµ:¡‘M¸‘Wx‘[q˲3.6‘UU#2eŸª±‘WCalculateŸù<$‘dµdŸü^ÿ±500‘ˆˆŸw‰fe`çŸ (ÖµdxŸır±500‘¢²(µxŸûŞÿ±131‘®9¸–8à²3µxŸûŞÿ±79‘ ±Æ²+“4).¦‘W¹Solution:’Œ*ºSinc›ÿ}'e– Üthe“function“is“a“p˜olynomial“of“de˜gr˜e˜e“131,‘)Úand“²500‘ hµ>¤ ‘W²131º,–“çwe“haveŸÙ|Ÿù<$’¾R<µdŸü^ÿ±500’»v®Ÿw‰fe`çŸ (ÖµdxŸır±500’Ô È²(µxŸûŞÿ±131‘®9¸–8à²3µxŸûŞÿ±79‘ ±Æ²+“4)–Ç=“0µ:¦‘M¸‘Wx‘[q˲3.5‘UU#6ŸÑ5‘WFind–ûçthe“v‘ÿqÇalues“of“µy[ÙŸü^ÿ·0‘*²,‘ ʵy[ÙŸü^ÿ·00‘t2²and“µy[ÙŸü^ÿ·000‘ Âk²at“the“pGoin¸ãt“(4µ;‘ª¨²3)“on“the“circle“µxŸü^ÿ±2‘x²+‘†µy[ÙŸü^ÿ±2‘Ÿd²=¡‘W25.Ÿ ‘W¹Solution:’Œ*ºImplicit–á8di er‘ÿ}'entiation“gives“²2µx–*g²+“2µy•[Ù²(µdy“=dx²)–"ë=“0º,‘4Œso‘á8µy[ÙŸü^ÿ·0‘Lı²=¡‘W¸µx=y[Ùº.‘™–Di er‘ÿ}'entiating–“çthis“givesŸK¬’¨èƒµy[ÙŸûŞÿ·00‘?c²=Ÿù<$‘ÕÙµd‘úKŸw‰fe ëŸ (Ödx‘ ²(¸µxy[ÙŸûŞÿ·±1› M²)–Ç=“¸µy[ÙŸûŞÿ·±1‘ Q-²+‘8àµxy[ÙŸûŞÿ·±2˜µy[ÙŸûŞÿ·0‘*µ:ŸŒ‹Ó y ı£ ? ıä‘WºSubstituting–ºşµy[ÙŸü^ÿ·0‘7û²=› éµxy[ÙŸü^ÿ·±1‘ÓKºgives“µy[ÙŸü^ÿ·00‘†4²=˜¸µy[ÙŸü^ÿ·±1‘ m€²+‘U3µxy[ÙŸü^ÿ·±2– M²(¸µxy[ÙŸü^ÿ·±1“²)µ;–ºşºand“simplifyingŸ ‘Wthis–“çusing“the“e‘ÿ}'quation“µxŸü^ÿ±2‘µS²+‘8àµy[ÙŸü^ÿ±2‘Ÿd²=‘Ç25“ºgives¤’Œ“‘µy[ÙŸûŞÿ·00‘?c²=–Ǹµy[ÙŸûŞÿ·±1‘ Q-¸›8àµxŸûŞÿ±2‘|sµy[ÙŸûŞÿ·±3‘ ße²=“¸µy[ÙŸûŞÿ·±3‘ M²(µxŸûŞÿ±2‘µS²+˜µy[ÙŸûŞÿ±2‘ØL²)“=“¸²25µy[ÙŸûŞÿ·±3‘ Mµ:¡‘WºDi er‘ÿ}'entiating–“çagain“gives¡’½)0µy[ÙŸûŞÿ·000‘ œ²=–Ç75µy[ÙŸûŞÿ·±4› Mµy[ÙŸûŞÿ·0‘ñ*²=“¸²75µxy[ÙŸûŞÿ·±5˜µ:©‘WºA¾“t–“çthe“p›ÿ}'oint“²(4µ;‘ª¨²3)º,“the“values“ar˜e¡’”¸µy[ÙŸûŞÿ·0‘ñ*²=–Ǹ²4µ=²3;› ㈵y[ÙŸûŞÿ·00‘?c²=“¸²25µ=²27;˜µy[ÙŸûŞÿ·000‘ œ²=“¸²100µ=²81µ:¦‘M¸‘Wx‘[q˲3.5‘UU#7aŸ'j‘WIf›Eµs–Dz=“8µtŸü^ÿ±2‘”Ö¸Ÿù<$‘K–²1‘K–Ÿw‰feŸ (Ö‘±Èµt‘ Ãá²(µt“>“²0)˜is˜the˜p•Gosition˜of˜a˜mo¸ãving˜b“o“dy˜at˜time˜µt²,‘HV nd˜theŸÍĞ‘Wtime,‘(pšGosition–±and“v•¸ãelo˜cit“y–±at“eacš¸ãh“momen˜t“when“the“acceleration“is“zero.Ÿ‘W¹Solution:’Œ*ºThe–“çvelo‘ÿ}'city“is¡’ÍÖµv‘"ñ²=–ǵsŸûŞÿ·0‘•Q²=“16µt–8à²+“µtŸûŞÿ·±2‘ ¼tµ;¡‘Wºand–“çthe“ac–ÿ}'c“eler“ation‘“çis¡’ÁGNµa–Dz=“µsŸûŞÿ·00‘㊲=“µv[ÙŸûŞÿ·0‘ñ*²=“16–8ณ²2µtŸûŞÿ·±3‘ ¼tµ:¡‘WºSo–°fthe“ac–ÿ}'c“eler“ation–°fis“zer‘ÿ}'o“when“²16–ú¸=“2µtŸü^ÿ·±3‘ ¼tº,›·†so‘°fµtŸü^ÿ±3‘w+²=“1µ=²8º,˜so‘°fµt“²=“1µ=²2º.‘ïTheŸ ‘Wp›ÿ}'osition–“çat“time“µt–Dz=“1µ=²2–“çºis“µs–Dz=“0º,–“çand“the“velo˜city“is“µv‘"ñ²=‘Ç12º.ŸŒø$ ƒ’À;èy—óı': cmti10óò"V cmbx10ó !",š cmsy10ó O!â…cmsy7ó  b> cmmi10ó 0e—rcmmi7óKñ`y cmr10óÙ“ Rcmr7óú±u cmex10ù*Ÿßßßßß