÷ƒ’Ą;č TeX output 1997.03.13:1625‹’’’’ y ż£ ? żä’”õKóKń`y cmr10²18.01–UUPractice“Exam“1,“SolutionsŽŸż#‘J8ä1.ŽŽŽ‘W(5–UUpGoinšøćts“eac˜h)“Find“the“deriv‘’qĒativ˜e“of“eac˜h“of“the“follo˜wing“functions:ŽŸڜ‘[8ć(a)ŽŽŽ‘mó  b> cmmi10µf‘²(µx²)–Ē=“µxŸü^’óŁ“ Rcmr7±7Ž‘µS²+‘8ą7µx²;ޤڜ‘móņ"V cmbx10¹Solution:ŽŽ’¢Ž*µf‘Ÿü^’ó O!ā…cmsy7·0Ž‘įȲ(µx²)–Ē=“7µxŸü^’±6Ž‘µS²+‘8ą7óż': cmti10ŗ.Ž”‘ZŖŖ²(b)ŽŽŽ‘mµf‘²(µx²)–Ē=“µx=²(µxŸü^’±4Ž‘µS²+‘8ą1);Ž”‘m¹Solution:ŽŽŽŸ <’«•2µf‘ŸūŽ’·0Ž‘įȲ(µx²)‘Ē=Ÿł<$‘śK(µxŸü^’±4Ž‘µS²+–8ą1)“ó !",š cmsy10ø“µx²(4µxŸü^’±3Ž‘|s²)Ž‘śKŸw‰feL4Ÿ (֍‘7(µxŸżr±4Ž‘µS²+‘8ą1)Ÿżr±2ŽŽŽŽŽ‘Tʲ=Ÿł<$‘śKø²3µxŸü^’±4Ž‘µS²+‘8ą1Ž‘śKŸw‰fe(3Ÿ (֍AĒ(µxŸżr±4Ž‘µS²+‘8ą1)Ÿżr±2ŽŽŽŽŽ‘-a µ:ŽŸ·‘[Dz(c)ŽŽŽ‘mµf‘²(µx²)–Ē=“3µxŸü^’±3Ž–|s²(µxŸü^’±3Ž‘µS²+‘8ą3)Ÿü^’±3Ž“²;Ž”‘m¹Solution:ŽŽŽŸ¢‡Ÿłęd‘rµf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(µx²)Ž’’E[=‘Ē9µxŸü^’±2Ž‘|s²(µxŸü^’±3Ž–µS²+›8ą3)Ÿü^’±3Ž“²+˜9µxŸü^’±3Ž‘|s²(µxŸü^’±3Ž“²+˜3)Ÿü^’±2Ž–|s²(3µxŸü^’±2Ž“²)ŽŽŸ ’’E[=‘Ē9[(µxŸü^’±5Ž–µS²+›8ą3µxŸü^’±2Ž‘|s²)(µxŸü^’±3Ž“²+˜3)Ÿü^’±2Ž“²+˜3µxŸü^’±5Ž‘|s²(µxŸü^’±3Ž“²+˜3)Ÿü^’±2Ž‘|s²]–Ē=“9(4µxŸü^’±5Ž–µS²+˜3µxŸü^’±2Ž‘|s²)(µxŸü^’±3Ž“²+˜3)Ÿü^’±2Ž‘|s²)µ:ŽŽŽŽŸÕ‘ZŖŖ²(d)ŽŽŽ‘mµf‘²(µx²)–Ē=“µx‘ŖØ²sinŽ‘œnµx²;Ž”‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*µf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(µx²)–Ē=“sinŽ‘øŽµx–8ą²+“µx‘ŖØ²cosŽ‘øßµxŗ.ޤ9‘[Dz(e)ŽŽŽ‘mµf‘²(µx²)–Ē=“µeŸü^’ó 0e—rcmmi7“xŸüūró†›Zcmr5°3ŽŽ‘š²;Ž”‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*µf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(µx²)–Ē=“3µxŸü^’±2Ž‘|sµeŸü^’“xŸüūr°3ŽŽ‘šŗ.ޤڜ‘\c²(f‘Ē)ŽŽŽ‘mµf‘²(µx²)–Ē=“cosŽ‘*§(µeŸü^’“xŽ‘AIJ+‘8ąµxŸü^’±1“=±3Ž‘ ‘ʲ);Ž”‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*µf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(µx²)–Ē=“ø‘ŖØ²sinŽ‘ ńĘ(µeŸü^’“xŽ–AIJ+‘8ąµxŸü^’±1“=±3Ž‘ ‘ʲ)(µeŸü^’“xŽ“²+Ÿü ‘l±1Ž‘lŸ£&‰feüsŸ昍3ŽŽŽŽ‘›¹µxŸü^’·±2“=±3Ž‘Ń˲)ŗ.ŽŸo†‘[8ć²(g)ŽŽŽ‘mµf‘²(µx²)–Ē=“Ÿ÷Ŗ«øpŽ‘ oŸ÷Ŗ«‰felnŸUUµxŸżr±4Ž‘µS²+‘8ą4ŽŽŽ‘&ˆŻ;ޤ?‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*µf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(µx²)–Ē=Ÿł<$‘śK1Ž‘śKŸw‰feŸ (֍2ŽŽŽŽ‘ -(µxŸūŽ’±4Ž‘µS²+‘8ą4)ŸūŽ’·±1“=±2Ž‘Ń˲(4µxŸūŽ’±3Ž›|s²)“=“2µxŸūŽ’±3Ž˜µ=Ÿö-­óś±u cmex10«pŽ‘ 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ŸGŸųOøpŽ‘ōžŸųO‰fe·Ÿ°ćµxŽŽŽ‘«ŗeŸöȾ·pŽ‘‘ÉŸöȾ‰W ˆäŸA“xŽŽŽ“²)ŽŽ”’Ém®=Ž’Ū4Ģ(1‘8ą+Ÿł<$‘l1Ž‘lŸw‰feŸ (֍2ŽŽŽŽ‘ ŸGŸųOøpŽ‘ōžŸųO‰fe·Ÿ°ćµxŽŽŽ‘«ŗ²)µeŸöȾ·pŽ‘‘ÉŸöȾ‰W ˆäŸA“xŽŽŽ‘ EU²sinŽ‘Œs(µxeŸöȾ·pŽ‘‘ÉŸöȾ‰W ˆäŸA“xŽŽŽ‘ š­²)µ:ŽŽŽŽŽŸŽŒ‹* y ż£ ? żä‘J8ä²2.ŽŽŽ‘W(5–~±pGoinšøćts“eac˜h)“Ev‘’qĒaluate“the“follo˜wing“limits“(or“explain“wh˜y“the“limitŽ© ‘WdoGes–UUnot“exist):ŽŸgµ‘[8ć(a)ŽŽŽ‘nMXlimŽŸ-‚‘m“x·!±1ŽŽŸł<$’„?صxŸü^’±2Ž‘µSø‘8ą²1Ž’€\Ÿw‰fe#3ŒŸ (֍(µx–8ąø“²1)Ÿżr±2ŽŽŽŽŽ’¤ĀŲ²;ŽŸMŠ‘m¹Solution:ŽŽŽŸēµ’›X>²limŽŸ-‚’š č“x·!±1ŽŽŸł<$’±J޵xŸü^’±2Ž‘µSø‘8ą²1Ž’­f’Ÿw‰fe#3ŒŸ (֍(µx–8ąø“²1)Ÿżr±2ŽŽŽŽŽ’Ō”Ö²=‘nlimŽŸ-‚‘Ē“x·!±1ŽŽŸł<$‘#/²(µx–8ą²+“1)(µx“ø“²1)Ž‘#/Ÿw‰fe=n2Ÿ (֍‘ S(µx–8ąø“²1)Ÿżr±2ŽŽŽŽŽ‘W‹¬²=‘nlimŽŸ-‚‘Ē“x·!±1ŽŽŸł<$‘#/µx–8ą²+“1Ž‘#/Ÿw‰feļūŸ (֍µx–8ąø“²1ŽŽŽŽŽŸMŠ‘mŗdo›’}'es–“ēnot“exist,“sinc˜e“the“numer˜ator“ø!›Ē²2ŗ,“but“the“denominator“ø!˜²0ŗ.ŽŸ5£‘ZŖŖ²(b)ŽŽŽ‘nMXlimŽŸ-‚‘m“x·!±0ŽŽŸł<$’€\²(µx–8ąø“²1)‘ŖØsinŽ‘œnµxŽ’€\Ÿw‰fe4 £Ÿ (֍‘)ÄxŽŽŽŽ’µ™ļ².ŽŸI‘W¹Solution:ŽŽŽŸC܍‘-;²limŽŸ-‚‘}ßå“x·!±0ŽŽŸł<$’‘;ü²(µx–8ąø“²1)‘ŖØsinŽ‘œnµxŽ’‘;üŸw‰fe4 £Ÿ (֍‘)ÄxŽŽŽŽ’É@ź²=‘nlimŽŸ-‚‘Ē“x·!±0ŽŽ‘ET²(µx–8ąø“²1)‘÷žlimŽŸ-‚‘ŖØ“x·!±0ŽŽŸł<$‘æ²sinŽ‘"ų…µxŽ‘æŸw‰feØāŸ (֍‘ųćxŽŽŽŽ‘,©ģ²=›Ēø²1“ø“²1˜=˜ø²1µ:ŽŸ²‘J8ä²3.ŽŽŽ‘W(10–żźpGoinšøćts)“Use“the“de nition“of“the“deriv‘’qĒativ˜e“to“ nd“µf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(1)“if“µf‘²(µx²)–Ē=“1µ=x².ŽŸ‘W¹Solution:ŽŽŽŸ1’bŸŻDz’ŖÅ­µf‘Ÿü^’·0Ž‘įȲ(1)Ž’ŹSė=Ž’ą±ClimŽŸs3’Ü ±“x·!±0ŽŽŸł<$’öéµf›²(1–8ą+“µx²)“ø“µf˜²(1)Ž’öéŸw‰feKž9Ÿ (֍‘ųćµxŽŽŽŽŽŽ¤·’ŹSė²=Ž’ą±ClimŽŸs3’Ü ±“x·!±0ŽŽŸł<$’öé²1µ=²(1–8ą+“µx²)“ø“²1)Ž’öéŸw‰feF(ąŸ (֍‘7µxŽŽŽŽŽŽ”’ŹSė²=Ž’ą±ClimŽŸs3’Ü ±“x·!±0ŽŽŸł<$’öéø²µx=²(1–8ą+“µx²)Ž’öéŸw‰feAąŸ (֍‘éȵxŽŽŽŽŽŽ¤Ł—’ŹSė²=Ž’ą±ClimŽŸs3’Ü ±“x·!±0ŽŽ’ó+²(ø²1µ=²(1–8ą+“µx²))ŽŽ”’ŹSė=Ž’Ü ø²1µ:ŽŽŽŽŸA#;‘J8ä²4.ŽŽŽ‘W(10–UUpGoinšøćts)“An“ob‘Ž8ject“mo˜ving“on“a“straigh˜t“line“has“pGosition“µs–Dz=“µtŸü^’±3Ž‘µSø‘8ąµtŸü^’±2Ž‘|s².ŽŸ‘[8ć(a)ŽŽŽ‘mFind–UUthe“v•øćeloGcit“y–UUµv‘±.²and“acceleration“µa².ޤ‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*µv‘"ń²=–ǵds=dt“²=“3µtŸü^’±2Ž‘µSø›8ą²2µtŗ;‘“ēµa“²=“µdv[Ł=dt“²=“6µt˜ø˜²2ŗ.Ž”‘ZŖŖ²(b)ŽŽŽ‘mWhicšøćh–“–direction“(pGositiv˜e,‘£&negativ˜e“or“neither)“is“the“ob‘Ž8ject“mo˜vingަ‘mwhen‘UUµt–Dz=“1?Ž”‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*ŗWhen‘Ć˵t–Dz=“1ŗ,›ķkµv‘"ń²=“1ŗ,˜so–ĆĖthe“obje›’}'ct“is“moving“in“the“p˜ositiveަ‘mdir–’}'e“ction.ޤ‘J8ä²5.ŽŽŽ‘W(10–UUpGoinøćts)“Consider“the“function“µf‘²(µx²)‘Ē=‘Ž0Ÿü¢ž°3Ž‘g ŸųĢøpŽ‘ ¼wŸų̉fe·Ÿ3čµxŽŽŽŽ‘s“².Ž”‘[8ć(a)ŽŽŽ‘mIs–UUµf‘²(µx²)“con•øćtin“uous–UUat“µx–Dz=“0?ŽŸ‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*ŗY‘’;¼es.‘™–(Se›’}'e–“ēthe“gr˜aph.)ŽŽŸŽŒ‹ü y ż£ ? ž˜µÖ‘>ļ;PSfile=cuberoot.eps llx=33 lly=105 urx=273 ury=295 rwi=2400ŽŽŸ‘ZŖŖ²(b)ŽŽŽ‘mIs–UUµf‘²(µx²)“di erenøćtiable“at“µx–Dz=“0?ޤ ‘mIf–UUso,“then“ nd“the“v›’qĒalue“of“the“deriv˜ativøće.Ž”‘mIf–†²not,‘“ then“state“whether“the“graph“has“a“tangenšøćt“line“at“the“pGoin˜tŽ”‘m(0µ;‘ŖØ²0).ŽŸ‘m¹Solution:ŽŽ’¢Ž*ŗNo,‘eūbut–Z€ther›’}'e“is“a“vertic˜al“tangent“line“(r˜e˜c˜al‘‚Ųl“that‘!˜Ÿü¢ž°3Ž‘śˆŸųĢøpŽ‘ Oߟų̉fe·Ÿ3čµxŽŽŽŽ‘a{ŗisŽ”‘mthe–“ēinverse“of“µxŸü^’±3Ž‘Zŗwhich“has“a“horizontal“tangent“at“µx–Dz=“0ŗ).ŽŸ‘J8ä²6.ŽŽŽ‘W(10–§æpšGoinøćts)“Find“the“slop˜e“of“the“tangenøćt“line“to“the“graph“of“µy[ٟü^’±2Ž‘¶²+‘Ż·2µxy‘"ń²=‘ǵeŸü^’“xŽŽ”‘W²at–UUthe“pGoinøćt“(0µ;‘ŖØ²1).ŽŸ‘W¹Solution:ŽŽŽŸ#š‚Ÿė!’«_O²2µyŸł<$‘ÉdyŽ‘ Ÿw‰fe ėŽŸ (֍dxŽŽŽŽ‘ę­²+–8ą2µxŸł<$‘mEdyŽ‘33Ÿw‰fe ėŽŸ (֍dxŽŽŽŽ‘ŠŌ²+“2µyŽ’²²=Ž’y µeŸü^’“xŽŽŽ¤‘¬’Ģeż²2(µx–8ą²+“µy[ٲ)Ÿł<$‘mEµdyŽ‘33Ÿw‰fe ėŽŸ (֍dxŽŽŽŽŽ’²²=Ž’y µeŸü^’“xŽ‘AÄø‘8ą²2µyŽŽ”Ÿł<$’ńĶSdyŽ’ń“AŸw‰fe ėŽŸ (֍dxŽŽŽŽŽ’²²=ŽŸł<$’’žµeŸü^’“xŽ‘AÄø‘8ą²2µyŽ’¬SŸw‰fe#śŸ (֍²2(µx–8ą²+“µy[ٲ)ŽŽŽŽ’?Ł—µ;ŽŽŽŽŸ,‚‘Wŗso–“ēthe“slop‘’}'e“is“ø²1µ=²2ŗ.ŽŽŸŽŒųŲƒ’Ą;čy— óż': cmti10óņ"V cmbx10ó !",š cmsy10ó O!ā…cmsy7ó  b> cmmi10ó 0e—rcmmi7óKń`y cmr10óŁ“ Rcmr7ó†›Zcmr5óś±u cmex10łßßßßß